Διαφορική Εξίσωση με Μετασχηματισμό Laplace (Παπούλας Νίκος) (Ενδέχεται 2024)
Η εξίσωση Laplace, η μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης είναι ευρέως χρήσιμη στη φυσική, επειδή οι λύσεις της R (γνωστές ως αρμονικές συναρτήσεις) εμφανίζονται σε προβλήματα ηλεκτρικού, μαγνητικού και βαρυτικού δυναμικού, θερμοκρασιών σταθερής κατάστασης και υδροδυναμικής. Η εξίσωση ανακαλύφθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό και αστρονόμο Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
αρχές της φυσικής επιστήμης: Απόκλιση και εξίσωση του Laplace
Όταν τα φορτία δεν είναι μεμονωμένα σημεία, αλλά σχηματίζουν μια συνεχή κατανομή με την τοπική πυκνότητα φόρτισης ρ να είναι ο λόγος του φορτίου δ
Η εξίσωση του Laplace δηλώνει ότι το άθροισμα των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης του R, η άγνωστη συνάρτηση, σε σχέση με τις καρτεσιανές συντεταγμένες, ισούται με μηδέν:
Το άθροισμα στα αριστερά αντιπροσωπεύεται συχνά από την έκφραση ∇ 2 R, στην οποία το σύμβολο ∇ 2 ονομάζεται Laplacian ή ο χειριστής Laplace.
Πολλά φυσικά συστήματα περιγράφονται πιο εύκολα με τη χρήση σφαιρικών ή κυλινδρικών συστημάτων συντεταγμένων. Η εξίσωση του Laplace μπορεί να αναδιατυπωθεί σε αυτές τις συντεταγμένες. Για παράδειγμα, σε κυλινδρικές συντεταγμένες, η εξίσωση του Laplace είναι
