Μαθηματικά πεδίου κατεύθυνσης

Πεδίο κατεύθυνσης, τρόπος γραφικής αναπαράστασης των λύσεων μιας πρώτης τάξεως διαφορικής εξίσωσης χωρίς την επίλυση της εξίσωσης. Η εξίσωση y ′ = f (x, y) δίνει μια κατεύθυνση, y ′, που σχετίζεται με κάθε σημείο (x, y) στο επίπεδο που πρέπει να ικανοποιείται από οποιαδήποτε καμπύλη λύσης που διέρχεται από αυτό το σημείο. Το πεδίο κατεύθυνσης ορίζεται ως η συλλογή τμημάτων μικρής γραμμής που περνούν από διάφορα σημεία που έχουν κλίση που θα ικανοποιεί τη δεδομένη διαφορική εξίσωση (βλέπε γράφημα) σε αυτό το σημείο. Η πραγματική οικογένεια καμπυλών (λύσεις της διαφορικής εξίσωσης) πρέπει να έχει κατεύθυνση σε κάθε σημείο που συμφωνεί με εκείνη του τμήματος γραμμής του πεδίου κατεύθυνσης σε αυτό το σημείο,έτσι ώστε αυτή η μέθοδος να είναι πολύτιμη για να αποκτήσετε κάποιο συναίσθημα για τη συμπεριφορά των λύσεων σε περιπτώσεις όπου η εξίσωση είναι δύσκολο να επιλυθεί ή στις οποίες η λύση είναι μια περίπλοκη λειτουργία. Συχνά είναι χρήσιμο όταν σχεδιάζετε το πεδίο κατεύθυνσης για να καθορίσετε τις γραμμές ή τις καμπύλες, που ονομάζονται ισοκλίνες, στις οποίες η κλίση των τμημάτων πεδίου κατεύθυνσης είναι σταθερή. Για παράδειγμα, στην εξίσωση y ′ = x + y η κλίση θα έχει τη σταθερή τιμή k όταν k = x + y, ή όταν y = -x + k; Δηλαδή, οι ισοκλίνες είναι ευθείες γραμμές με κλίση -1. Αυτές οι γραμμές μπορούν στη συνέχεια να σκιαγραφηθούν ελαφρά για να βοηθήσουν στην κατασκευή του πεδίου κατεύθυνσης (βλ. Γράφημα). Η πραγματική οικογένεια λύσεων σε αυτήν την περίπτωση είναι y = aeστην οποία η κλίση των τμημάτων πεδίου κατεύθυνσης είναι σταθερή. Για παράδειγμα, στην εξίσωση y ′ = x + y η κλίση θα έχει τη σταθερή τιμή k όταν k = x + y, ή όταν y = -x + k; Δηλαδή, οι ισοκλίνες είναι ευθείες γραμμές με κλίση -1. Αυτές οι γραμμές μπορούν στη συνέχεια να σκιαγραφηθούν ελαφρά για να βοηθήσουν στην κατασκευή του πεδίου κατεύθυνσης (βλ. Γράφημα). Η πραγματική οικογένεια λύσεων σε αυτήν την περίπτωση είναι y = aeστην οποία η κλίση των τμημάτων πεδίου κατεύθυνσης είναι σταθερή. Για παράδειγμα, στην εξίσωση y ′ = x + y η κλίση θα έχει τη σταθερή τιμή k όταν k = x + y, ή όταν y = -x + k; Δηλαδή, οι ισοκλίνες είναι ευθείες γραμμές με κλίση -1. Αυτές οι γραμμές μπορούν στη συνέχεια να σκιαγραφηθούν ελαφρά για να βοηθήσουν στην κατασκευή του πεδίου κατεύθυνσης (βλ. Γράφημα). Η πραγματική οικογένεια λύσεων σε αυτήν την περίπτωση είναι y = ae^x - x - 1 για οποιαδήποτε σταθερά a, όπως βρέθηκε με μεθόδους διαφορικών εξισώσεων.